IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE SUMA DE DOS ANGULOS.

Sean α y β dos ángulos. Las razones trigonométricas del ángulo suma (α+β) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de ambos ángulos.

Seno del ángulo suma:

Coseno del ángulo suma:

Tangente del ángulo suma:
Sean dos ángulos, α=30º y β=60º. Lasrazones trigonométricas de su ángulo suma son:
- Seno del ángulo suma (30º+60º):
Coseno del ángulo suma (30º+60º):

Tangente del ángulo suma (30º+60º):

¿COMO SE CONSIGUE?

De la misma manera que en el seno, elcoseno del ángulo suma es el segmento AF.

Calcularemos los segmentos AG y EH.

Por otra parte:

Sustituyendo en (2) obtenemos la fórmula

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNFAMENTALES.

Definiciones de las funciones trigonométricas: coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente.

Tabla de valores del seno, coseno y tangente de los ángulos usados más frecuentemente.

Demostraciones de las identidades trigonométricas más importantes: identidad fundamental, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, seno, coseno y tangente de la suma de ángulos, del ángulo doble, del ángulo mitad, etc.

Consideremos la circunferencia de radio <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-4-Frame" tabindex="0" data-mathml="
h

» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $h$

de la siguiente imagen:

circunferencia con triángulo

Definimos el coseno del ángulo <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-5-Frame" tabindex="0" data-mathml="
α» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $α$

como:

$<span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-6-Frame" tabindex="0" data-mathml=" cos(α)=ah» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:center;»> c o s (α) = \frac{a}{h}$

Es decir, el coseno es el cociente del cateto contiguo al ángulo <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-7-Frame" tabindex="0" data-mathml="
α» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $α$
del triángulo y la hipotenusa <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-8-Frame" tabindex="0" data-mathml="
h

» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $h$

.
Definimos el seno del ángulo <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-9-Frame" tabindex="0" data-mathml="
α» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $α$
como:

$<span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-10-Frame" tabindex="0" data-mathml=" sin(α)=bh» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:center;»> s i n (α) = \frac{b}{h}$

Es decir, el seno es el cociente del cateto opuesto al ángulo <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-11-Frame" tabindex="0" data-mathml="
α» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $α$
del triángulo y la hipotenusa <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-12-Frame" tabindex="0" data-mathml="
h

» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $h$

.

También podemos escribirlo como <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-13-Frame" tabindex="0" data-mathml="
sin(α)

» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $s i n (α)$

.
Definimos la tangente del ángulo <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-14-Frame" tabindex="0" data-mathml="
α» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $α$

como:

$<span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-15-Frame" tabindex="0" data-mathml=" tg(α)=sin(α)cos(α)» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:center;»> t g (α) = \frac{s i n (α)}{c o s (α)}$

Es decir, la tangente es el cociente del seno y del coseno.

También podemos escribirla como <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-16-Frame" tabindex="0" data-mathml="
tan(α)» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $t a n (α)$

.

Observad que tanto el seno como el coseno son funciones continuas, mientras que la tangente no lo es. Los puntos donde la tangente no es continua son los ángulos para los que el coseno es 0 (porque el coseno está en el denominador de la definición de la tangente).
Definimos la cosecante del ángulo <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-17-Frame" tabindex="0" data-mathml="
α» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $α$

como:

$<span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-18-Frame" tabindex="0" data-mathml=" cosec(α)=1sin(α)» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:center;»> c o s e c (α) = \frac{1}{s i n (α)}$

Es decir, la cosecante es el inverso multiplicativo del seno (no es lo mismo que la inversa del seno, que es <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-19-Frame" tabindex="0" data-mathml="
arcsin» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $a r c s i n$

).

También podemos escribirla como <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-20-Frame" tabindex="0" data-mathml="
csc(α)

» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $c s c (α)$

.
Definimos la secante del ángulo <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-21-Frame" tabindex="0" data-mathml="
α» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $α$

como:

$<span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-22-Frame" tabindex="0" data-mathml=" sec(α)=1cos(α)» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:center;»> s e c (α) = \frac{1}{c o s (α)}$

Es decir, la secante es el inverso multiplicativo del coseno (no es lo mismo que la inversa del coseno, que es <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-23-Frame" tabindex="0" data-mathml="
arcos» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $a r c o s$

).
Definimos la cotangente del ángulo <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-24-Frame" tabindex="0" data-mathml="
α» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $α$

como:

$<span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-25-Frame" tabindex="0" data-mathml=" cotg(α)=1tg(α)» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:center;»> c o t g (α) = \frac{1}{t g (α)}$

Es decir, la cotangente es el inverso multiplicativo de la tangente (no es lo mismo que la inversa de la tangente, que es <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-26-Frame" tabindex="0" data-mathml="
arctan» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $a r c t a n$

).

También podemos escribirla como <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-27-Frame" tabindex="0" data-mathml="
cotan(α)

» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $c o t a n (α)$
y <span class="mjx-chtml MathJax_CHTML" id="MathJax-Element-28-Frame" tabindex="0" data-mathml="
cot(α)

» role=»presentation» style=»display:inline-block; line-height:0; text-indent:0pxtext-transform:none; font-style:normal; font-weight:normal; font-size:19px; letter-spacing:normal; word-wrap:normal; word-spacing:normal; white-space:nowrap; float:none; direction:ltr; max-width:none; max-height:none; min-width:0px; min-height:0px; border:0px; margin:0px; padding:1px0px; position:relative; text-align:left;»> $c o t (α)$

.

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

El alumno reconocerá los diferentes valores y propiedades de las funciones trigonométricas de ángulos de cualquier valor. Así como interpretar el comportamiento tendencial de las funciones trigonométricas.

El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0)

Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de un punto en el círculo unitario llamado punto circular. Para eso, luego, localizamos el 0 en la recta numérica de manera que coincida con el punto (1, 0) en la unidad del círculo.

Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es, entonces, el eje real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de las manecillas del reloj. De manera, que cada número real de la recta real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario.

Variación y gráficas de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante)

Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las razones o relaciones entre sus lados.

Las funciones trigonométricas son algunas aplicaciones que nos ayudan en la resolución de triángulos rectángulos
Un triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo consiste en calcular tres de los elementos cuando se conocen los otros tres, siempre que uno de ellos sea un lado.

Gráficas de las funciones trigonométricas

Si queremos representar en forma gráfica una función trigonométrica tomamos los valores de la variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas, obteniendo así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que será la representación gráfica de la función.

Uso de la función seno: ésta se usa cuando en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto, o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el cateto opuesto al ángulo dado.

Uso de la función coseno: si en un triángulo rectángulo conocemos un ángulo agudo y el cateto adyacente, o un ángulo agudo y la hipotenusa.

Podemos calcular el cateto adyacente al ángulo dado y la hipotenusa usando esta función.

Uso de la función tangente: si en un triángulo rectángulo conocemos un cateto y el ángulo adyacente a él podemos calcular el otro cateto.

Uso de la función cotangente: por lo tanto en todo triángulo rectángulo si conocemos un cateto y su ángulo opuesto podemos calcular el valor del otro mediante ésta.

Uso de la función secante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario que en la función coseno.

Uso de la función cosecante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario a la función seno.

RAZONES TRIGONOMETRICAS

Las razones trigonometricas son funciones que describen relaciones entre los lados de los triangulos rectangulos y sis angulos internos. Las razones trigonometricas se manejan como sinonimos de laa funciones trigonometricas. Sin embargo, existen diferencias sutiles entre ambos conceptos.

En primer lugar las razones trigonometricas, tal como ha sido definida, esta asociada a un triangulo rectangulo, y por consiguiente el angulo que la genera esta dentro del rango 0-90¤, cosa que no sucede cuando se maneja el concepto de funcion.

Consideremos el angulo ¤ con el punto P (x,y) en el lado terminal de ¤:

Puesto el valor de las funciones trigonometricas, no depende de la longuitud del rayo OP, nos podemos limitar al triangulo OAP.

ORIENTACION

Los ángulos de rotación se forman en el plano cartesiano entre el eje positivo – (lado inicial) y un rayo (lado termina) . Las medidas de ángulos positivos representan una rotación en contra del sentido del reloj mientras que los ángulos negativos indican una rotación en sentido del reloj.

Ya que los ejes e son perpendiculares, entonces cada eje representa un incremento de noventa grados de rotación. Los siguientes diagramas muestran una variedad de ángulos que se forman rotando un rayo a través de los cuadrantes del plano cartesiano.

Un ángulo de rotación se puede describir en una cantidad infinita de formas. Se puede describir por un ángulo de rotación positivo o negativo o haciendo múltiples rotaciones circulares completas a través de . El siguiente ejemplo ilustra este concepto.

ANGULOS DE ROTACION.

¿QUE SON LOS ANGULOS DE ROTACION?

En rotación, el ángulo a través del cual la figura se rota es llamado el ángulo de rotacion.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS APLICACIONES DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:

En matematicas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonometricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en fisica, astronomis, cartog rafia, nautica , tele comunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS APLICACIONES DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:

En matematicas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonometricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en fisica, astronomis, cartog rafia, nautica , tele comunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

FUNCIONES

PIMERAMENTE SE REPRESENTA:

La circunferencia se puede representar mediante ecuaciones o funciones que determinan la posición de cada uno de sus puntos. Para ello solo hace falta garantizar que la distancia de cada punto $P$ de la circunferencia a su centro $C$ sea constante para cada una de las ecuaciones y funciones que se tenga.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA:

circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas

Una circunferencia queda determinada por un centro $C=(a,\,b)$ y un radio $r$ , por tanto, su ecuación queda determinada al imponer que la distancia de sus puntos, $P=(x,\,y)$ , al centro sea constante, es decir, $\|P-C\|=r$ dando la siguiente ecuación:⁶⁷

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.

Su representación en un sistema de coordenadas viene dada por cada punto de la forma $(x,\,y)$ que satisfacen la ecuación.

La ecuación anterior es más sencilla si está centrada en el origen de coordenadas $C=(0,\,0):$

x^{2}+y^{2}=r^{2}.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio uno se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica y su ecuación es: $x^{2}+y^{2}=1.$

Su función implícita es $f(x,\,y)=x^{2}+y^{2}-1$ y para representar la circunferencia se buscan los puntos del plano que cumplen la ecuación $f(x,\,y)=0.$

FUNCION PARAMETRICA:

La circunferencia con centro en $C=(a,\,b)$ y radio $r$ se puede parametrizar usando funciones trigonométricas de un solo parámetro $\theta$ para obtener una función paramétrica $r_{C}(\theta )=(x,\,y):$

{\begin{array}{l}x=a+r\,\cos \theta \\y=b+r\,\operatorname {sen} \theta \end{array}}

\theta \in [0,\,2\,\pi )

También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como:

${\begin{array}{l}x=a+r\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)\\y=b+r\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)\end{array}}$

FUNCIÓN PARAMETRICA EN EL PLANO COMPLEJO:

En el plano complejo, una circunferencia con centro $C=a+i\,b$ y radio $r$ a partir de la ecuación de la circunferencia $|z-c|=r$ se obtiene la forma paramétrica:

z=re^{i\theta }+C=

)

r(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )+a+i\,b

donde : $\theta \in [0,\,2\,\pi ).$

FUNCIÓN VECTORIAL:

Como en la función paramétrica, la circunferencia puede representarse en cualquier subespacio de dimensión dos de un espacio vectorial usando dos vectores orto-normales $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , y por tanto generadores de dicho subespacio, permitiendo construir la circunferencia en cualquier plano oblicuo con centro ${\vec {c}}$ y radio $r$ que viene dada o descrita por la función vectorial:

$r(\theta )=$ ${\vec {c}}+{\vec {u}}r\cos \theta +{\vec {v}}r\operatorname {sen} \theta$ donde $\theta \in [0,\,2\pi ).$

REPRESENTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.

POSICIONES DE CIRUNFERENCIAS:

Una circunferencia es exterior a otra, si todos sus puntos son exteriores a esta otra. Véase la figura 1 y 8.
Una circunferencia es interior a otra, si todos sus puntos son interiores a esta otra. Véase la figura 5.
Una circunferencia es circundante a otra, si todos sus puntos no son interiores a esta otra que a su vez no es exterior a la primera. Véase las figuras 7 y 8.
Una circunferencia es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. Véase la figura 2.
Una circunferencia circundante es tangente exterior a otra, si tienen un único punto común. Véase la figura 7.
Una circunferencia es tangente interior a otra, si tienen un único punto común y todos los demás puntos de una son interiores a la otra. Véase la figura
4.
Una circunferencia es secante a otra, si se cortan en dos puntos distintos. Véase la figura 3.
Una circunferencia es secante ortogonalmente a otra, si el ángulo de su intersección es recto, es decir, sus rectas tangentes en cada una de las intersecciones son perpendiculares.
Son excéntricas las circunferencias que no tienen el mismo centro.
Son concéntricas las circunferencias que tienen el mismo centro, es decir, las que no son excéntricas.
Son coincidentes las circunferencias que tienen el mismo centro y el mismo radio, es decir, que todos los puntos de una son los de la otra y viceversa. Véase la figura 6.

ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA:

Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.Véase la figura 1.
Un ángulo inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia cuyos lados determinan una cuerdas cada uno en la dicha circunferencia.Véase la figura 2.
Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y uno de sus lados secantes determina una cuerda y el otro una recta tangente a la circunferencia, es decir, que el vértice es un punto de tangencia.Véase la figura 3.
Un ángulo ex-inscrito es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y uno de sus lados determina una cuerda y la prolongación del otro determina otra cuerda, es decir, es el ángulo exterior de un ángulo inscrito. Véase la figura 4.
Un ángulo interior es el que tiene su vértice en el interior de la circunferencia.⁴ Véase la figura 5.
Un ángulo exterior es el que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y cada lado es tangente o secante a la circunferencia.Véanse las figuras 6,7 y 8.

PROPIEDADES:

En el ángulo central su amplitud $\alpha$ y el radio $r$ de la circunferencia, determina la longitud del arco $\ell ,$ resaltado en la figura en azul. Si el ángulo está en grados:

${\frac {\alpha }{180^{\circ }}}\cdot \pi \cdot r$

El arco capaz relaciona el ángulo central, inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito siempre que las intersecciones de los lados mantengan la misma distancia.

Si el ángulo inscrito, semi-inscrito y ex-inscrito tienen la misma amplitud $\alpha$ , entonces, determinan la misma longitud de arco, de color azul en la imagen, sobre una misma circunferencia de radio $r$ . Si el ángulo está en grados:

${\frac {\alpha }{90^{\circ }}}\cdot \pi \cdot r$